Beweisen, dass U_{1} und U_{2} jeweils Untervektorräume von V sind.

Question

Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathbb{R}^{4} \) sowie die beiden Teilmengen

U1:={(a+b+c, b, c, 0): a, b, c ∈ ℝ } ⊂ V und

U2 :={v ∈ V: ∃k ∈ ℝ: v+k * (1,1,1,1)=(0,0,0,0)} ⊂ V

(a) Zeigen Sie, dass \( U_{1} \) und \( U_{2} \) jeweils Untervektorräume von \( V \) sind.(b) Zeigen Sie \( V=U_{1} \oplus U_{2} \).

Answer 1

Für die Untervektorraumeigenschaft kennst du doch

bestimmt Kriterien.

Vielleicht sowas wie:

0-Vektor enthalten, Abgeschlossen gegenüber Addition

und S-Multiplikation.

Das musst du dann prüfen.

Bei U1 : 0-Vektor (klar für a=b=c=0)

abg. bzgl. Addition (a+b+c, b, c, 0) + (x+y+z, y, z, 0)

= ((a+x)+(b+y)+(c+z), b+y, c+z, 0) und die

a+x b+y und c+z sind da die in der Summe benutzten

reellen Zahlen

ähnlich: abg. bzgl Multiplikation mit x∈ℝ

direkte Summe: Zeige dim(U1)=3 und dim(U2)=1

und U1∩U2 = {0-Vektor}

Comments

Erstmal vielen Dank für die Antwort. Ich hatte U1 bereits gemacht und deine Antwort bestätigt, dass es richtig ist. :)

Bei U2 hatte ich folgendermaßen angefangen:

0+0 x (1,1,1,1) = (0,0,0,0) Somit ist U2 ungleich der leeren Menge.

Leider weiß ich bei U2 nicht, wie man die anderen Kriterien also bzgl. Add. und Multipl. darstellt. Und bei Aufgabe b) müsste ich noch recherchieren, da ich dafür noch keinen Ansatz habe.