bestimme Limes von n-te Wurzel aus n für n gegen unendlich

Question

Aufgabe: bestimme Lim n bis unendlich aus n-te Wurzel aus n

Answer 1

Der Exponent nähert sich Null und Irgendwas hoch Null ist Eins.

Comments

Das ist falsch argumentiert, vgl.

(2^n)^(1/n)

---

Ok, ersetze "Irgendwas" durch n.

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(n\ge1\) ist \(\sqrt[n]{n}\ge1\). Daher können wir für jedes \(n\in\mathbb N\) eine Konstante \(c_n\ge0\) finden, sodass Folgendes gilt:$$\sqrt[n]{n}=1+c_n\quad;\quad c_n\ge0$$Mit Hilfe des binomsichen Lehrsatzes folgt daraus:$$n=\left(\sqrt[n]{n}\right)^n=\left(1+c_n\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot c_n^k$$Für \(n\ge2\) wählen wir aus der Summe nur den Term mit \(k=2\) aus, sodass:$$n\ge\binom{n}{2}c_n^2=\frac{n(n-1)}{2}c_n^2\quad\implies\quad 0\le c_n\le\sqrt{\frac{2}{n-1}}$$Für alle \(n\ge2\) gilt also:$$1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}$$

Im Grenzwert \(n\to\infty\) heißt das:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$