Bernoulli-DGL Gleichung lösen

Question

Hallo, ich will diese Aufgabe lösen ,aber irgendwie komme ich nicht weiter  .

Ich brauche Hilfe .

wie kann ich sowas Beweisen .

Transformieren Sie die Bernoullische Differentialgleichung
y′ =a(t)·y+b(t)·yλ    , λ∈R,
mittels der Substitution z := y1−λ in eine lineare Differentialgleichung.
(Hier sind a, b : I → R stetige Funktionen auf einem offenen Intervall I .)

Lösen Sie die Gleichung
y′ − y + ty2 = 0 .

Comments

Bitte die Aufgabe richtig abschreiben. Da fehlen ein paar Exponenten!!!!

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Und fehlen da nicht noch Anfangsbedingungen?

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Text erkannt:

1. Aufgabe ( $2+3$ Punkte): Bernoulli-Gleichung
(i) Transformieren Sie die Bernoullische Differentialgleichung
$y^{\prime}=a(t) \cdot y+b(t) \cdot y^{\lambda}, \lambda \in \mathbb{R}$
mittels der Substitution $z:=y^{1-\lambda}$ in eine lineare Differentialgleichung. (Hier sind $a, b: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetige Funktionen auf einem offenen Intervall $I$.)
(ii) Lösen Sie die Gleichung
$y^{\prime}-y+t y^{2}=0$

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Ja ,es tut mir leid ,da steht in der Aufgabe Fehler.

So sieht die Aufgabe aus

Answer 1

Hallo,

Aufgabe i funktioniert analog , hier bis zur linearen DGL.

Answer 2

Multipliziere die Dgl. $$(1) \quad y' = a(t) \cdot y +b(t) \cdot y^\lambda$$ mit $(1 - \lambda) \cdot y^{-\lambda}$ dann folgt mit $z = y^{1 - \lambda}$ folgende Dgl.

$$(2) \quad z' = (1 - \lambda) \cdot a(t) \cdot z + (1 - \lambda) \cdot b(t)$$

also eine lineare Dgl.

Für die die Dgl. $$(3) \quad y' - y + t \cdot y^2 = 0$$ folgt dann

$$(4) \quad z' = -z + t$$

mit der Lösung von (4) $$z(t) = e^{-(t - \tau)} ( 1 - \tau + \eta ) + t - 1$$ falls für die Anfangsbedingung  $z(\tau) = \eta$  gilt

Weiter gilt dann für die Lösung von (3) $$y = \frac{1}{z} = \frac{1}{ e^{-(t - \tau)} ( 1 - \tau + \eta ) + t - 1 }$$ und $y(\tau) = \frac{1}{\eta}$