Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und v₁, . . . , v_n eine Basis von V. Wir bezeichnen mit f_i: V → K die eindeutig bestimmte lineare Abbildung für die f_i (v_j ) = 1, falls i = j und f_i (v_j ) = 0, falls i≠j gilt. Zeigen Sie, dass f₁, . . . ,f_n eine Basis von Hom_k(V, K) bilden. Folgern Sie, das dim_k V = dim_k Hom_k (V, K).

Comments

Linear unabhängig:

sei a1 * f1 + ... + an * fn = 0 eine Linearkombination der Nullabbildung (Nullvektor von Hom(V,K))

Auf beiden Seiten stehen jetzt Abbildungen, setzen wir mal auf beiden Seiten vi ein

links bleibt ai stehen rechts 0 (Körperelement), also muss ai=0 sein. i war beliebig gewählt, also gilt das für alle i

damit a1 * f1 + ... + an * fn = 0   ==>  a1 = ... = an = 0

Das heißt die Abbildungen sind linear unabhängig.

Erzeugendensystem:

Ist f : V -> K ein Homomorphismus, dann betrachte

f(v1) * f1 + ... + f(vn) * fn

Wenn wir da ein beliebiges v = b1 v1 + ... + bn vn einsetzen, erhalten wir

f(v1) b1 + ... + f(vn) bn = f( b1 v1 + ... + bn vn )

da v beliebig: f = f(v1) * f1 + ... + f(vn) * fn

rest ist klar, beide haben eine Basis der Länge n.

---

Also wäre jetzt gezeigt, dass f1, . . . ,fn eine Basis von Homk(V, K) bildet und wie könnte man daraus folgern, dass dimk V = dimk Homk (V, K) ist?

---

Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis. Beide VR haben Basen mit n Vektoren.

---

Also beide Vektorräume haben Basen mit n Vektoren, aber endlich, weil V,K endlich dimensionale Vektorräume sind und so auch HomK(V,K) endlich dimensional ist. Und das müsste ich nur noch beweisen oder, oder es ergibt sich schon durch den Beweis der Basis oder?