Die Ableitung in Sachsituationen

Question

Aufgabe:

Die Funktion f mit f(x) = 0,0075x² + 3x beschreibt modellhaft die Baukosten für eine Wohnung von x m² Wohnfläche (20< x < 200, f(x) in 1000€). Es ist f'(x)= -0,015x + 3

a) Berechnen Sie f(80) und f' (80). Was bedeuten die Größen in diesem Kontext?

b) Berechnen Sie durch lineare Näherung mithilfe von f (80) und f'(80) näherungsweise die Herstellungskosten für eine 82m² große Wohnung und vergleichen sie mit dem Funktionswert f (82).

Problem/Ansatz :

Hallo,

Ich hoffe das ich hier hilfe bekomme. Und zwar ich verstehe Aufgabe a und b nicht wie ich es überhaupt lösen kann.

Könnte jemand es vielleicht lösen ?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben die Baukosten \(f(x)\) für \(x\) Quadratmeter und deren Ableitung gegeben:$$f(x)=0,0075x^2+3x\quad;\quad f'(x)=0,015x+3$$

zu a) Die entsprechenden Werte bei \(x=80\) lauten:$$f(80)=288\quad;\quad f'(80)=4,2$$Das heißt, \(80\,\mathrm m^2\) kosten etwa \(288\) k€, jeder weitere Quadratmeter kostet etwa \(4,2\) ke.

zu b) Eine \(82\,\mathrm m^2\) Wohnung kostet näherungsweise:$$f(82)\approx f(80)+2\cdot f'(80)=288+2\cdot4,2=296,4$$Die exakten Baukosten erhalten wir durch Einsetzen in die Funktion \(f(x)\):$$f(82)=296,43$$

Der Näherungswert passt also bis auf \(30\) € genau zu dem exakten Wert.