Berechne Cov(X, Y )!

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariablen X, Y besitzen die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte

f: ℝ²  → [ 0, ∞), f(X,Y) =  { 1/π, x² + y²≤ 1,

                                     { 0, sonst.

Berechnen Sie Cov(X, Y )!

Problem/Ansatz:

Laut der Ausarbeitung soll es durch Argumentieren möglich sein, ohne irgendetwas zu rechnen.

Meine Frage würde auch lauten warum X und Y zwischen -1 ≤ x od. y ≤ 1 liegen muss?

Answer 1

Ich hätte es so versucht
$$ \text{Cov} (X,Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot y \cdot f(x,y) \ dx dy -\mathbb{E}(x) \cdot \mathbb{E}(x) $$ $$ \mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \ dx $$ und $$ \mathbb{E}(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot f(y) \ dy $$ und $$ f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy $$ sowie $$ f(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx $$ Da \( f(x,y) = \frac{1}{\pi} \) auf dem Einheitskreis ist und sonst \( 0 \) ist, kann man das alles sehr leicht ausrechnen.
$$ \mathbb{E}(X)  = \mathbb{E}(Y) = 0 $$ $$ \text{Cov} (X,Y) = 0  $$ $$ \text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = \frac{1}{4} $$