Näherungswert für Nullstelle mit Newton

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie einen Näherungswert xn für die Nullstelle der Funktion f, mit

$f(x)=7 x+3 \sin (x)-7$

mithilfe des Newton-Verfahrens mit Startwert x0 = 1.Die Iteration kann beendet werden, sobald |f(xn)| ≤ 0.005.

Geben Sie die Näherungswerte gerundet auf vier Stellen nach dem Komma an.

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung wie ich diese Aufgabe löse kann mir jemand helfen?

Comments

Also wenn Du "keine Ahnung" hast wie das Newtonverfahren geht, dann solltest Du nachlesen, wie das Newtonverfahren geht, und bei Problemen Deinen Lösungsversuch hier einstellen.

Answer 1

Aloha :)

Leider schmeißen die meisten Leerer nur mit Formeln um sich, ohne wirklich zu erklären, was sie eigentlich bedeuten. Du scheinst an so einen Leerer geraten zu sein.

Beim Newton-Verfahren startet man mit einer Schätzung $x_0$ für die Nullstelle. Für diesen Punkt $x_0$ berechnet man die Tangente an die Funktion $f(x)$, das heißt$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$und prüft, wo diese Tangente die $x$-Achse schneidet. Dazu setzt man die Tangente gleich $0$ und löst nach $x$ auf:$$\left.f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;-f(x_0)$$$$\left.f'(x_0)\cdot(x-x_0)=-f(x_0)\quad\right|\;:f'(x_0)$$$$\left.x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right|\;+x_0$$$$\left.x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right.$$Dieses $x$ nimmt man als neuen Näherungswert für die Nullstelle. Diese Berechnung wiederholt man so lange, bis die Nullstelle hinreichend genau bestimmt wurde. Zusammengefasst heißt das:$$\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad;\quad x_0=\text{Startwert}}$$

Im konkreten Fall musst du hier also die Ableitung deiner Funktion bilden:$$f(x)=7x+3\sin(x)-7\quad\implies\quad f'(x)=7+3\cos(x)$$um damit die Rekursionsgleichung aufzustellen:$$x_{n+1}=x_n-\frac{7x_n+3\sin(x_n)-7}{7+3\cos(x_n)}\quad;\quad x_0=1$$

Die gewünschte Genauigkeit wird bereits bei $n=3$ erreicht:

$$\begin{array}{c|l}n= & x_n=\\\hline 0 & 1\\1 & \mathbf{0,7071}75477179938\\2 & \mathbf{0,7180}26518154966\\3 & \mathbf{0,7180}38963033648 \end{array}$$

Comments

ja genau so hab ich das gemacht bis x 10 weil es ja oben heißt, dass ich die Iteration erst beenden kann wenn |f(xn)| ≤ 0.005.

Das ist ja bei x3 nicht der fall, dort ist ja der wert 0,7180 oder hab ich das falsch verstanden?

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also ich habs x genannt bei dir heißt es n

Answer 2

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/892740/naherungswert-mithilfe-des-newton-…

Comments

Da sind 2 verschiedene Antworten ist also deine die richtige?

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Was meinst Du, verstehDich nicht. Das Schema ist das gleiche, die Funktion ein bisschen anders.

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ich hab das jetzt bis x10 gemacht und immer noch keine lösung die die Bedingung (|f(xn)| ≤ 0.005 ) hat

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Dann machst Du was falsch

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für x1 hab ich 0,7072,

da ich ja x0- f(x0)/f'(x0) machen muss um x1 zu bekommen und für x0 =1 eingesetzt wird.

die abgeleitete funktion lautet ja 7+3cos(x)

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Ich hatte $x_0 = -1$ anstatt $x_0 = +1$