Gegeben sind zwei Vektoren: u = ( 1 1 -0,5)^T, v = ( 4 0 -1)^T . Suche Parallelogrammfläche.

Question

Gegeben sind zwei Vektoren u, v ∈ V³₀ durch ihre Koordinatenvektoren bzgl eines kartesischen Koordinatensystems:

u = ( 1   1   -0,5)^T       v = ( 4  0  -1)^T

Berechnen Sie den Flächeninhalt A des von u und v aufgespannten Parallelogramms. 

Answer 1

Der Flächeninalt A_u,v des durch zwei Vektoren u und v aufgespannten Parallelogramms wird durch den Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren gegeben, also für die Beispielaufgabe:

$$\vec { u } \times\vec { v } =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1*(-1)-0*(-0,5) \\ (-0,5)*4-1*(-1) \\ 1*0-1*4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$$$${ A }_{ u,v }=\left| \vec { u } \times\vec { v }  \right| =\sqrt { \left( { (-1) }^{ 2 }+{ (-1) }^{ 2 }+{ (-4) }^{ 2 } \right)  } =\sqrt { 18 }$$