Matrizen als Produkt schreiben

Question

kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe bitte helfen?:

Sei K ein Körper a,b,a₁,a₂,b₁,b₂ ∈ K

1. Schreibe die Matrix P₁₂=[0,1;01] als Produkt der Elementarmatrizen:

E₁₂(a₁)=[1,a₁;0,1]  E₂₁(a₂)=[1,0;a₂,1]

C₁(b₁)=[b₁,0;0,1]      C₂(b₂)=[1,0;0,b₂]

Also mich verwirren die Variablen in den Matrizen

Comments

Mit \(P_{12}\) meinst du wohl eher die Permutationsmatrix,

die die Zeilen 1 und 2 vertauscht, oder?

Diese wäre in deiner "Schreibweise": [0,1;1,0].

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Ja, also P₁₂ siet so aus:

P₁₂=

0	1
1	0

Hab mich total vertan, tut mir leid.

Und jetzt weiß ich nicht, wie ich das mit den anderen Matrizen bilden soll, wegen der Variablen

Answer 1

Ich wende sukzessive elementare Zeilenumformungen auf die Einheitsmatrix an,

um so die Matrix \(P_{12}\) zu erzeugen:$$\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right)\stackrel{E_{21}(1)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{rr}1&0\\1&1\end{array}\right)\stackrel{E_{12}(-1)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&1\end{array}\right)\stackrel{E_{21}(1)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right)\stackrel{C_1(-1)}{\rightarrow}P_{12}$$

Also ist$$P_{12}=C_1(-1)E_{21}(1)E_{12}(-1)E_{21}(1).$$

Comments

Achsooo, man setzt dann dementsprechend einen Wert für die Variable ein? Okay, dann habe ich das verstanden. Ich bedanke mich!