Matrizen, beweisen dass m=n...

Question

Seien X ∈ Mat m×n(K) und Y ∈ Mat n×m(K)

mit der Eigenschaft, dass XY = Idmund Y X = Idn. Beweisen Sie, dass in diesem Fall m = n sein muss.
Wie bitte kann ich beweisen dass m=n sein muss? Ich komme da nicht drauf und würde mich sehr freuen über einen Rechenweg/Beweisweg

Comments

Überlege mal, was Du aus den Gleichungen über den Rang von X und Y folgern kannst und was Du über Spalten- und Zeilenrang weißt.

Answer 1

Wegen $$ \text{Spur}(XY) = \text{Spur}(YX) $$ und $$ \text{Spur}(XY) = \text{Spur}(I_m) = m $$ und $$ \text{Spur}(YX) = \text{Spur}(I_n) = n $$ folgt \( n = m \)