Münze, Wahrscheinlichkeit approximativ berechnen

Question

Aufgabe:

Eine faire Münze werde 100000 mal geworfen. Bezeichne $\left\{\mathrm{I}_{\mathrm{k}}=1\right\}$ das Ereignis, dass beim k-ten Wurf Zahl fällt, und $\left\{\mathrm{I}_{\mathrm{k}}=0\right\}$ sein Komplement.

Sei $\overline{\mathrm{I}}$ die relative Haufigkeit von Zahl unter diesen 100000 Würfen. Berechnen Sie approximativ mithilfe der Normalapproximation die Wahrscheinlichkeit

$\mathbb{P}\left(\left|\overline{\mathrm{I}}-\frac{1}{2}\right| \geq 0.01\right)$


Schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit zudem nach oben mit der Chebeshev-Ungleichung sowie mit der Chernoff-Ungleichung ab.

Problem/Ansatz:

i) Münze Wahrscheinlichkeit kopf = zahl = 0.5  = Ewartungswert

ii) nach Auflösung der Ungleichung
$\overline{\mathrm{I}}$   ≥ 0.51    oder  $\overline{\mathrm{I}}$   ≤ 0.49

wie es dann weitergeht?

Comments

hat jemand einen Vorschalg?

Answer 1

Kann man die Wahrscheinlichkeit nicht einfach durch die absolute Häufigkeit bestimmen?
$$\mathbb{P}(0 \leq X \leq 49000) + \mathbb{P}(51 000 \leq X \leq 100000) = 1 - \mathbb{P}(49001 \leq X \leq 50999)$$
Diese könnte man dann leicht durch die Normalverteilung approximieren mit $$\mu = np = 50000$$ $$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{25000}$$

Mit freundlichen rüßen
Der Baron

Comments

Kann man die Wahrscheinlichkeit nicht einfach durch die absolute Häufigkeit bestimmen?

Willst du das wirklich? Dann nimm eine Münze und wirf sie 100000 mal.

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sonst keine Vorschläge mehr.