Die Ungleichung soll bewiesen werden

Question

Aufgabe:

Wir haben den Mittelwertsatz auf die Funktion f(x)=(x+1)^1/2 auf dem Intervall [0,x]

Man soll zeigen:

Dass die ungleichung stimmt

√x+1≤1+x/2 für allex≥0

Answer 1

Ich entnehme jetzt mal deiner Frage, es soll
\(\begin{aligned} \sqrt{x+1} \leq 1+\frac{x}{2}\end{aligned}, \quad x\ge 0 \)
gezeigt werden, also
\(\begin{aligned} x+1 \leq\left(1+\frac{x}{2}\right)^{2} \Longleftrightarrow x+1 \leq 1+x+\frac{x^{2}}{4} \Longleftrightarrow 0 \leq \frac{x^{2}}{4}\end{aligned} \)
Da die letzte Aussage offensichtlich wahr ist, da \( x^{2} \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \), folgt die Ungleichung.