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Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) in Abhängigkeit von Kapital (K) und Arbeit (L) auf

F(K,L)=KL2.
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=39 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=21. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 390 ME produziert werden soll.

a. Wie hoch ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis KL der beiden Produktionsfaktoren?
b. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in dem Kostenminimum?
c. Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in dem Kostenminimum?
d. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?
e. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?


Problem/Ansatz:

Hola, bräuchte hierbei Hilfe. Vielen Dank im Voraus :-)

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das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis KL

Wenn man dividieren will, braucht es ein Divisionszeichen... also K/L.

1 Antwort

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Aloha :)

Hier geht es darum, eine Funktion \(g(K;L)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(K;L)=\text{const}\) zu optimieren. Dabei sind:$$g(K;L)=39K+21L\quad;\quad F(K;L)=KL^2\stackrel!=390$$Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}g=\lambda\cdot\operatorname{grad}F\quad\implies\quad\binom{39}{21}=\lambda\binom{L^2}{2KL}$$Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch diejenige der zweiten Koordinate:$$\frac{39}{21}=\frac{\lambda\,L^2}{\lambda\,2KL}=\frac{L}{2K}\implies L=\frac{78}{21}\,K$$Damit sind wir fertig und können alle Fragen beantworten:

zu a) Das Faktoreneinsatzverhältnis \(K\) zu \(L\) beträgt:$$\frac{K}{L}=\frac{21}{78}$$

zu b) Die Menge des Inputfaktors L erhalten wir durch Einsetzen in die Nebenbedingung:$$390=KL^2=\left(\frac{21}{78}L\right)\cdot L^2=\frac{21}{78}L^3\implies L=\sqrt[3]{390\cdot\frac{78}{21}}\approx11,3148$$

zu c) Die Menge des Inputfaktors K erhalten wir wieder aus der Nebenbedingung:$$K=\frac{390}{L^2}=\frac{390}{11,3148^2}\approx3,0463$$

zu d) Den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) erhalten wir aus der ersten Koordinate der Gradientengleichung:$$\lambda=\frac{39}{L^2}=\frac{39}{11,3148^2}\approx0,3046$$

zu e) Hier müssen wir die Werte für \(K\) und \(L\) in die Kostenfunktion einsetzen:$$g(3,0463;11,3148)=356,42$$

Avatar von 148 k 🚀

Vielen Danke für die ausführliche Antwort! :-)

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