Bestimmen sie die Koordinaten des Schwerpunktes S.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Dreieck im Raum mit den Eckpunkten A,B,C:

A: (0,1,0)

B: (1,1,1)

c: (0,0,2)

a) Bestimmen sie die Koordinaten des Schwerpunktes S.

b) Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks

Problem/Ansatz:

a) Stimmt hier mein Vorgehen?

A+B = (0,2,1)

(0,2,1) + C(0,0,2) = (1,2,3)

Jedoch wäre die Lösung 1/3(1,2,3)?

b) Verstehe nicht wie man AB und AC berechnet?

Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Hallo Kalona,

a) Stimmt hier mein Vorgehen?
A+B = (0,2,1)
(0,2,1) + C(0,0,2) = (1,2,3)
Jedoch wäre die Lösung 1/3(1,2,3)?

Das Endergebnis ist richtig. Nur bei einem Zwischenergebnis ist ein Fehler drin (Tippfehler?). Es muss heißen$$A+B= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}1}\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$$

b) Verstehe nicht wie man AB und AC berechnet?

\(\vec{AB}\) ist der Weg von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\). Ziehe den Startpunkt \(A\) vom Zielpunkt \(B\) ab:$$\vec {AB} = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$Bei \(\vec{AC}\) genau so:$$\vec {AC} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$Die Fläche \(F\) des Dreiecks erhält man über das Kreuzprodukt$$F = \frac12|\vec{AB}\times \vec{AC}| = \frac12\left|\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\right| = \frac12\left|\begin{pmatrix}1\\ -2\\ -1\end{pmatrix}\right| \\\phantom F= \frac 12 \sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}= \sqrt 6 \approx 1,22$$Optisch sieht das ganze so aus:

Ich habe Dir auch zusätzlich den Punkt \((1|2|3)\) eingezeichnet. Du siehst, dass die Summe aller Eckpunkte nicht der Schwerpunkt \(S\) des Dreiecks sein kann.

Gruß Werner

Comments

a) also wäre die Lösung schon (1,2,3), einfach ohne das 1/3 vorne dran?

Danke dir viel Mal!

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a) also wäre die Lösung schon (1,2,3), einfach ohne das 1/3 vorne dran?

Nein! - wie kommst Du auf "ohne das 1/3 vorne dran"?

Ich habe oben in meiner Antwort noch ein Bild hinzu gefügt. Wenn Du auf das Bild klickst, öffnet sich die Geoknecht3D-App und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren. So bekommt man einen besseren räumlichen Eindruck.

Die Vektoren \(\vec{AB}\) (rot) und \(\vec{AC}\) (blau) habe ich auch eingezeichnet. Du siehst sie verlaufen immer von einem Punkt (hier \(A\)) zu einem anderen.

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Achso, vielen lieben Dank!:-)

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