Aufgabe:
Bezeichne V den reellen Vektorraum R[X] und M ⊂ R eine Menge mit d Elementen. Seien
U1
:= { f ∈ R[X] | ∀m ∈ M : f(m) = 0}, U2 := { f ∈ R[X] | deg(f) ≤ d − 1} zwei Unter-
vektorräume von V und weiter Φ: V → Abb(M, R) die durch Φ(f)(m) := f(m) gegebene
lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass Φ|U2
: U2 → Abb(M, R) ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
b) Folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass auch gilt: V/U1
∼= Abb(M, R).
c) Folgern Sie, dass U2 ein Komplement von U1 ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Ein Polynom in K[X] von Grad n ∈ N0 hat
höchstens n Nullstellen in K.
Problem/Ansatz:
Also die Injektivität bei der a war noch machbar, aber an der Authentizität scheitert es dann schon wieder...
