Suche: Beweis für die Integration für dx/(1+x^2) mithilfe der Partialbruchzerlegung

Question

Ich brauche den Beweis, dass

\( \int \frac{1}{1+x^2} d x=\arctan (x) \)

gilt.

Und zwar mit der Partialbruchzerlegung im Komplexen.

Answer 1

Benutze 1/(1+x^2) = A/(1+ix) + B/(1-ix)

Info über den arctan:

http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html

Zeile (1) mit den beiden ln sollte bei deiner Integration rauskommen.

Comments

Ich habe das:

\( f(x)=\frac{i}{2}\left(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\right) \)
\( \Rightarrow F(x)=\frac{i}{2} \times(\ln (x+i)-\ln (x-i)) \)

Nun weiß ich nicht, wie ich weiter zu rechnen habe. Ich habe den Logarithmus in C, doch irgendwie werde ich daraus nicht schlau.

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Schlauer wäre in der Tat
i/2 (ln(1-ix) - ln(1+ix))
= i/2 ln (( 1-ix)/(1+ix))

=i/2 ln((-i(1-ix))/(-i(1+ ix))
=i/2 ln((x+i))/(x-i))
= i/2 ( ln(x+i) - ln(x-i))

Ist somit dasselbe, wie die Definition von arctan gemäss dem vorherigen Link.

Deine Partialbruchzerlegung ist so weit ok, vgl. auch: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28i%2F2%29%281%2F%28x%2Bi%29+-+1%2F%28x-i%29%29

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Ich glaub wir reden aneinander vorbei. Oder ich kann mich nicht klar ausdrücken. 

 

Ich brauche das; vervollständigt, wobei ich die Schritte die wir jetzt gemacht haben dafür schon habe.