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Einem gleichschenkliges Dreieck mit der Basislänge c=50 und den Schenkellängen a=b=65 werden Rechtecke einbeschrieben, deren eine Seite auf der Grundlinie liegt. Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt? Wie rechnet man das?
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Vielleicht kannst du die Antwort hier https://www.mathelounge.de/73887/extremwertaufgabe-dreieck-rechteck-maximaler-geschnitten

auf deine Aufgabe übertragen (?) Probier  das mal.
Nein, leider nicht :-(

1 Antwort

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Bevor man losrechnet, macht man sich tunlichst zunächst eine Skizze:

Einbeschriebenes Rechteck

In dieser Skizze ist das Dreieck so in ein Koordinatensystem gelegt, dass seine Basis auf der x-Achse und der  Fußpunkt seiner Höhe h im Koordinatenursprung O liegt.
Die y- Koordinate des Punktes C ist dann gleich der Länge der Höhe h. Diese ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

h = √ ( 65 2 - 25 2 ) = √ 3600 = 60

 

Für den von x abhängigen Flächeninhalt A des rot eingezeichneten Rechtecks gilt dann:

A ( x )  = 2 * x * f ( x )

wobei f ( x ) die Gleichung der Geraden BC ist. Diese lässt sich mit der Achsenabschnittsform einer Geraden schnell bestimmen: Die Gerade schneidet die x -Achse an der Stelle x = 25 und die y- Achse an der Stelle f ( 0 ) = 60. Es gilt also:

f ( x ) / 60 + x / 25 = 1

<=> f ( x ) = ( 1 - x / 25  ) * 60

= - 2,4 x + 60

Somit gilt für A:

A ( x ) = 2 * x * f ( x )

= 2 * x * ( - 2,4 x + 60 )

= - 4,8 x 2 + 120 x

Zur Bestimmung des maximalen Flächeninhaltes Amax muss die Stelle x bestimmt werden, an der A ( x ) ein Maximum annimmt, also:
Nullsetzen der ersten Ableitung von A ( x ) und Auflösen nach x:

A ' ( x ) = - 9,6 x + 120 = 0

<=> 9,6 x = 120

<=> x = 120 / 9,6 = 12,5

Da A ' ' ( x ) = - 9,6 überall negativ ist, also insbesondere auch an der Stelle x = 12,5, liegt dort tatsächlich ein Maximum von A ( x ) vor.

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt hat somit die Breite

2 * 12,5 = 25 cm

und die Höhe 

f ( 12,5 )  = 30 cm

Der maximale Flächeninhalt Amax ist:

Amax = A ( 12,5 ) = - 4,8 * 12,5 2 + 120 * 12,5 = 750 cm 2

oder einfach, da es sich um ein Rechteck handelt:

Amax = Breite * Höhe = 25 * 30 = 750 cm 2

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Das war wirklich eine große Hilfe :-)

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