Orthogonale Matrix und Diagonalmatrix bestimmen

Question

Aufgabe: Matrix A = 1 3 0

                               3 4 1

                               0 1 1

Kann jemand ohne Rechnung begründen, dass es eine orthogonale Matrix S gibt, so dass S^T AS eine
Diagonalmatrix ist.

Problem/Ansatz: Ich krieg die Aufgabe leider nicht hin. Wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte. :)

Answer 1

Aloha :)

Ohne Rechnung sieht man sofort, dass die Matrix reell und symmetrisch ist. Ihre Eigenwerte sind alle verschieden und die zugehörigen Eigenvektoren stehen paarweise orthogonal zueinander.

1) Bestimmung der Eigenwerte:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1-\lambda & 3 & 0\\3 & 4-\lambda & 1\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|\stackrel{Z_1-=3Z_3}{=}\left|\begin{array}{rrr}1-\lambda & 0 & -3(1-\lambda)\\3 & 4-\lambda & 1\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & -3\\3 & 4-\lambda & 1\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|\stackrel{Z_2-=3Z_1}{=}(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & -3\\0 & 4-\lambda & 10\\0 & 1 & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(1-\lambda)\left((4-\lambda)(1-\lambda)-10\right)=(1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda-6)=(1-\lambda)(\lambda+1)(\lambda-6)$$Damit haben wir die Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=6$$

2) Die Rechnung für die Eigenvektoren führe ich hier nicht explizit vor, den Spaß daran möchte ich dir nicht nehmen. Zur Kontrolle gebe ich die aber die Eigenvektoren an:$$\vec x_1=\left(\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right)\quad;\quad \vec x_2=\left(\begin{array}{r}-1\\0\\3\end{array}\right)\quad;\quad \vec x_3=\left(\begin{array}{r}3\\5\\1\end{array}\right)$$Diese Vektoren stehen paarweise orthogonal zueinander. Ihre Länge können wir auf $1$ normieren und in eine Matrix $S$ eintragen:$$S=\left(\begin{array}{r}\frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{35}}\\[1ex]-\frac{2}{\sqrt{14}} & 0 & \frac{5}{\sqrt{35}}\\[1ex]\frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{35}}\end{array}\right)$$

Comments

Danke vielmals :)

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Eine Frage noch: Müsste der Eigenvektor zu λ=1 nicht (-1/3 ,0 ,1) sein?

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Die Eigenvektoren sind nicht eindeutig. Du kannst sie mit jedem beliebigen Faktor $\ne0$ multiplizieren und es bleiben Eigenvektoren. Wenn du deinen Eigenvektor zu $\lambda=1$ mit $3$ multiplizierst, bekommst du meinen Vorschlag.

Das ist auch der Grund, weshalb wir für die Angabe der Matrix $S$ alle Eigenvektoren auf die Länge $1$ normieren müssen.

Answer 2

Hallo :-)

Deine Martrix ist symmetrisch und damit diagonalisierbar. (Reell)-symmetrische Matrizen haben stets Eigenvektoren, die paarweise orthogonal zueinander sind.

Willst du nun deine Matrix diagonalisieren, dann machst du das auch wie sonst auch. Am Ende musst du nur noch deine Eigenvektoren für die Transformationsmatrix $S$ normieren.

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Danke für die schnelle Antwort :D