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Für den \(K'\)-Teil der Aufgabe empfehle ich die Verwendung von Kugelkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in\left[\frac12\bigg|1\right]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi2\bigg|\pi\right]\quad;\quad\vartheta\in\left[0\bigg|\frac\pi2\right]$$Die Wahl des Intervalls für \(r\) berücksichtigt, dass \(K'\subset K\) ist. Die Wahl des Intervalls für \(\varphi\) stellt sicher, dass \(x\le0\) und \(y\ge0\) ist. Die Wahl der Intervalls für \(\vartheta\) garantiert, dass \(z\ge0\) ist.
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten lautet:$$dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$Wenn ihr das noch nicht besprochen habt, kannst du das mit der Funktionaldeterminante ausrechnen. Wegen \(x^2+y^2+z^2=r^2\) wird das Integral in Kugelkoordinaten zu:
$$I=\int\limits_{r=\frac12}^1\;\;\int\limits_{\varphi=\frac\pi2}^\pi\;\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\frac\pi2}\frac{r\sin\varphi\sin\vartheta-r\cos\varphi\sin\vartheta}{r^2}\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=\frac12}^1\;\;\int\limits_{\varphi=\frac\pi2}^\pi\;\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\frac\pi2}r(\sin\varphi-\cos\varphi)\,\sin^2\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=\frac12}^1r\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=\frac\pi2}^\pi(\sin\varphi-\cos\varphi)\,d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^{\frac\pi2}\sin^2\vartheta\,d\vartheta=\frac38\cdot2\cdot\frac\pi4=\frac{3\pi}{16}$$
