Habe ich die Monotonie der Folge richtig gezeigt?

Question

Hallo, ich wollte das Monotonieverhalten dieser Aufgabe überprüfen.

Habe ich das richtig gemacht?

Text erkannt:

\( a_{n}=n^{2}+(-1)^{n} \)
\( a_{1}=1-1=0 \quad a_{n+1}>a_{n} \quad \) oder \( \quad \frac{a n+1}{a_{n}}>a_{n}>0 \)
\( a_{2}=4+1=5 \)
\( a_{3}=9-1=8 \)
\( =(n+1)^{2}+(-1)^{n+1}-n^{2}+(-1)^{n} \)
\( =(n+1)^{2}-1 \cdot(-1)^{n}-n^{2}+(-1)^{n} \)
\( =(n+1)^{2}-(-1)^{n}-n^{2}+(-1)^{n} \)
\( =(n+1)^{2}-n^{2} \)
\( =2 n+2 n+1-n^{2} \)
\( =2 n \geq 0 \)
\( 2 n \geq 1 \)
\( =1 \)

Answer 1

Hallo :-)

Man kann nicht alles erkennen, was du geschrieben hast. Das sieht man an der linken Seite deines Fotos bei den Gleichheitszeichen. Aus der ersten Zeile deiner Rechnung nehme ich mal an, dass du \(a_{n+1}-a_n>0\) zeigen willst. Leider machst du schon in der ersten Zeile ein Vorzeichenfehler. Richtig wäre zunächst:

$$ a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+(-1)^{n+1}-n^2-(-1)^n. $$

Weiter hat man:

$$\begin{aligned} a_{n+1}-a_n&=(n+1)^2+(-1)^{n+1}-n^2-(-1)^n\\[15pt]&=n^2+2n+1+(-1)^{n+1}-n^2+(-1)^{n+1}\\[15pt]&=2n+1+2\cdot (-1)^{n+1}\\[15pt]&=2n+\underbrace{1+2\cdot (-1)^{n+1}}_{\in \{-1,1\},\ \forall n\N_{\geq 0}}\\[25pt]&\geq 2n-1\\[15pt]&=n+\underbrace{n-1}_{\geq 0,\ \forall n\in \N_{\geq 1}}\\[15pt]&\stackrel{n\geq 1}{\geq} n>0. \end{aligned}$$