Überprüfen sie die Folge auf Monotonie, Begründen sie das die Folge konvergiert

Question

Hallo, ich habe Schwierigekiten bei folgender Aufgabe:

Die Folge (a_n)_n Sei rekursiv definiert durch einen Startwert a0 ∈ [1,3] und die Vorschrift

\( a_{n+1}  =  \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3}{a_n + 1} \)

a) Zeigen Sie: Es gilt a_n ∈ [1,3] für alle n∈Ν

b) Überprüfen sie die Folge auf Monotonie

c) Begründen sie das die Folge konvergiert

Problem/Ansatz:

Die a) konnten wir ohne Probleme per induktivem Beweis lösen, bei b) und c) kamen wir jedoch immer auf nichts sagende Lösungen.

Die Lösung für b) lautet: a_n+1 - a_n = \( \frac{2a_n² - 3a_n + 3}{a_n + 1} \)  -a_n -> Einige umformungen und quadratisches Ergänzen ergeben: \( \frac{(a_n-2)² - 1}{a_n + 1} \) < 0 mit a_n -2 ∈ [-1,1]

Bei c) soll laut lösung das Monotonie Kriterium verwendet werden

Answer 1

\( a_{n+1} - a_n =  \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3}{a_n + 1}   -a_n \)

\( =  \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3 -a_n(a_n + 1) }{a_n + 1}  \)

\( =  \frac{2a_n^2 - 3a_n + 3 -a_n^2 -a_n }{a_n + 1}  \)

\( =  \frac{a_n^2 - 2a_n + 3  }{a_n + 1}  \)

\( =  \frac{a_n^2 - 2a_n + 1 + 2   }{a_n + 1}  \) FEHLER! s. Kommentare

\( =  \frac{(a_n -1)^2 + 2  }{a_n + 1}  \)

Der Zähler ist immer größer oder gleich 0

und der Nenner positiv wegen an ∈ [1,3].

Also \( a_{n+1} - a_n \) immer größer gleich 0 ==> Folge mon. fallend.

                                                                          FEHLER! s. Kommentare

monoton und beschränkt ==> konvergent.

Comments

Der Zähler ist immer größer oder gleich 0

Das "gleich" ist nicht notwendig, da der Zähler mindestens 2 ist.

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Also \(a_{n+1}-a_n\) immer größer gleich 0 ==> Folge mon. fallend.

Hieße das nicht, dass die Folge monoton steigend ist?

Nach meinen Berechnungen ist$$\frac{2a_n^2-3a_n+3-a_n^2-a_n }{a_n+1}=\frac{a_n^2-4a_n+3}{a_n+1}=\frac{(a_n-3){\cdot}(a_n-1)}{a_n+1}<0.$$Warum schreibst du Brüche eigentlich immer so klein?

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Oha, da habe ich mich mal wieder vertan.

Danke, ich merke das oben an.