Lösung der Differentialgleichung y``-5y`+6y = 0, die y(0)=1, y´(log2)=0 erfüllt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung y´´-5y`+6y = 0,
die y(0) = 1, y´(log 2) = 0 erfüllt.

Problem/Ansatz:

Ich habe nur eine Frage bei der ersten Ableitung. Man schreibt

0= 3*a*e^(3*log2)+2*b*e^(2*log2)

Wie rechne ich das mit dem Logarithmus aus?

Answer 1

Hallo,

leider sind Fehler in der Aufgabenstellung vorhanden.

y(0) = 1 oder 0 ? , y '(log 2) = 0 ? ->sehe , Du hast es jetzt geändert

Ergebnis:

\( y(x)=C{1} e^{2 x}+C{2} e^{3 x} \)

y'(x) \( =2 C_{1} e^{2 x}+3 C_{2} e^{3 x} \)

--------> y '(log 2) = 0 eingesetzt:

statt log wird im Hochschulbereich meistens ln verwendet:

0 \( =2 C_{1} e^{2 ln(2)}+3 C_{2} e^{3 ln(2)} \) --->e und ln heben sich auf(wegenUmkehrfunktion)

Allgemein gilt: \( \ln \left(x^{r}\right)=r \cdot \ln (x) \)

das bedeutet:

e^(2 ln(2))=?

2 ln(2)= (ln(2))^2

e und ln heben sich auf ---->2^2 =4 analog der andere Term

 0= 2C₁ *2^2 +3C₂ 2^3

0= 8C₁ +24C₂ 

Comments

Vielen Dank für die Antwort

Die Vorgabe ist y(0)=1

wenn ich alles richtig gerechnet habe, ist a=-0,5, bei ihnen müsste es C2 sein

b=+1,5, bei Ihnen C1

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ich habe erhalten:

C₂= -1/2

C₁= 3/2

--------->

y= \( \frac{3}{2} \) \( e^{2x} \) - \( \frac{1}{2} \) \( e^{3x} \)

---

aus y(o)=0         1=a+b -->b=1-a

aus y´(log2)=0    0=24*a+8*b

0=24a+8*(1-a)

0=24a+8-8a

-8=16a

a=-0,5

1=-0,5+b

b=+1,5

Oder rechne ich falsch? Mein Prof hat uns die gesamte Rechnung nicht bei beigebracht

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Hier das Ergebnis von Wolfram Alpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%C2%B4%C2%B4-5y%60%2B6y+%3D+0%2Cy%280%29+%3D+1++%2C+y+%27%28log+2%29+%3D+0+

\( y(x)=-\frac{1}{2} e^{2 x}\left(e^{x}-3\right) \)