Vollständige Induktion rekursiver Funktionen

Question

Aufgabe:

Gegeben: $$z \in R$$ und $$h: N \rightarrow R$$ mit:

1. $$h(0) = 0$$

2. $$h(n) = (2+z) * h(n-1) +1$$

zu zeigen:

$$(\forall n: n \in N: h(n+1) = (2+z)^n + h(n))$$

Problem:

Prinzipiell bin ich mir bewusst, wie Induktionsbeweise zu führen sind. Nur in diesem speziellen Fall scheitere ich daran wie der Induktionsanfang auszusehen hat.

Wenn irgendjemand eine Idee hat für mich, dann wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

\(\begin{aligned} & n=0\implies &  & h(n+1)\\ &  & =\, & h(0+1)\\ &  & =\, & h(1)\\ &  & =\, & {(2+z)\cdot h(1-1)+1}\\ &  & =\, & (2+z)\cdot h(0)+1\\ &  & =\, & (2+z)\cdot0+1\\ &  & =\, & 1\\ &  & =\, & (2+z)^{0}+0\\ &  & =\, & (2+z)^{0}+h(0)\\ &  & =\, & (2+z)^{n}+h(n) \end{aligned}\)

Comments

Ahhhh... könnte mir gerade selber in den Allerwertesten beißen...

Vielen lieben Dank für die Antwort. Hatte den immer "vom falschen Ende" auf angezogen.