Das ist ein recht "sperriges" Integral:
Bei dem Ausdruck \(\sqrt{1-x^2}\) sollte man an \(\cos^2=1-\sin^2\) denken,
was zur Substitution \(x=\sin(t)\), \(dx=\cos(t)dt\) Anlass gibt.
Das Integral hat nun die Form $$\int \frac{1}{a-\sin(t)}dt,$$
d.h. der Integrand ist eine rationale Funktion von \(\sin\) und/oder \(\cos\).
In solchen Fällen kann man die sog. Weierstrass-Substitution,
auch Halbwinkel-Methode genannt, anwenden,
siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution
Setzen wir also \(v=\tan(t/2)\), so geht das Integral über
in die Form $$2\int \frac{dv}{a(1+v^2)-2v}=\frac{2}{a}\int \frac{dv}{v^2-\frac{2}{a}v+1}$$
Nun mache man im Nenner eine quadratische Ergänzung.
Durch einfache lineare Substitutionen erhält das Integral
schließlich die Gestalt$$c\cdot \int\frac{dw}{w^2+1}$$ mit einem gewissen von \(a\) abhängigen Faktor c=c(a) ...
