Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Aus der Aufgabenstellung schließe ich, dass ihr das Thema vollständige Induktion habt. Du sollst ja alle Schritte detailliert aufschreiben.
Die Induktionsbehauptung ist:$$A(n)\coloneqq\frac{4^n+15n-1}{9}\in\mathbb Z\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$Das heißt, der Zähler dividiert durch den Nenner ergibt immer eine ganze Zahl bzw. der Zähler ist durch den Nenner ohne Rest teilbar.
Induktionsverankerung bei \(n=1\):$$A(n)=A(1)=\frac{4^1+15\cdot1-1}{9}=\frac{18}{9}=2\in\mathbb Z\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):
Wir haben die Gültigkeit der Behauptung bis zu einem bestimmten \(n\in\mathbb N\) gezeigt. Wir können als Induktionsvoraussetzung also annehmen, dass es eine eine ganze Zahl \(z\in\mathbb Z\) gibt, sodass gilt:$$A(n)=\frac{4^n+15n-1}{9}=z\in\mathbb Z$$
Mit diesem Wissen betrachten wir die Behauptung nun für das nächste folgende \(n\):$$A(n+1)=\frac{4^{n+1}+15(n+1)-1}{9}=\frac{4^{n+1}+15n+14}{9}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{4^{n+1}+\overbrace{60n-45n}^{=15n}+\overbrace{18-4}^{=14}}{9}=\frac{4^{n+1}+60n-4}{9}+\frac{-45n+18}{9}$$$$\phantom{A(n+1)}=4\cdot\frac{4^n+15n-1}{9}+\frac{9\cdot(-5n+2)}{9}$$Jetzt setzen wir für den ersten Bruch die Induktionsvoraussetzung ein und kürzen im zweiten Bruch die \(9\) heraus:$$A(n+1)=4\cdot z-5n+2\in\mathbb Z\quad\checkmark$$Da \(z\in\mathbb Z\) und \(n\in\mathbb N\) gilt, ist tatsächlich auch \(A(n+1)\in\mathbb Z\) eine ganze Zahl.
Wiederholen wir den Induktionsschritt unendlich oft, gilt die Behauptung für alle \(n\in\mathbb N\).
