Gleichmässige oder punktweise Konvergenz sowie Grenzfunktion einer Funktionenfolge

Question

Hier ist eine Funktionenfolge, die ich auf punktweise und gleichmässige Konvergenz untersuchen muss und dann noch die Grenzfunktion bestimmen:

$f_{n}:[0,1] \rightarrow R$

$x \rightarrow \frac{x^{2}\left(n+x^{n-1}\right)}{n+1}$

Answer 1

für einen beliebiges $x \in [0,1]$ kommt man schnell durch Grenzwertbetrachtung auf eine mögliche Grenzfunktion $f(x) = x^2$. (Hier hat man im Grunde schon die pktw. Konvergenz gezeigt)

Jetzt zeigt man, dass $(f_n)_n$ gleichmäßig auf dem Definitionsbereich gegen $f$ konvergiert. Die punktweise Konvergenz folgt spätestens jetzt unmittelbar.

Gruß