x-Morphismus, was ist das?

Question

Hallo an alle!

Ich lerne gerade für die Klausur und habe den Überblick verloren, ich sehe nur noch Morphismen.

Was ist ein Homomorphismus, was ist der Unterschied zu einem Epimorphismus und was ist nun wieder ein Automorphismus. Was ist das Besondere an einem Monomorphismus... Ich drehe durch :(

Auf Wikipedia blicke ich nicht so richtig durch. Das ist irgendwie alles so kryptisch geschrieben.

Vielleicht kann mir hier das jemand einfach erklären?

Answer 1

Aloha :)

Ein Homomorphismus \(\varphi\) ist eine lineare Abbildung von einem \(\mathbb K\)-Vektorraum \(V\) in einen \(\mathbb K\)-Vektorraum \(W\). Linear heißt, dass folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:$$\varphi(\vec a+\vec b)=\varphi(\vec a)+\varphi(\vec b)\quad;\quad \vec a,\vec b\in V\quad\text{(Additivität)}$$$$\varphi(\text{const}\cdot\vec a)=\text{const}\cdot\varphi(\vec a)\quad;\quad\text{const}\in\mathbb K\quad\text{(Homogenität)}$$

Bestimmte Eigenschaften grenzen den allgemeinen Homomorphismus ein:$$\begin{array}{l|c|c|c|}\text{Typ} & V=W & \text{injektiv} & \text{surjektiv}\\\hline\text{Endo-Morphismus} & \checkmark\\\text{Auto-Morphismus} & \checkmark & \checkmark & \checkmark\\\text{Mono-Morphismus} & & \checkmark\\\text{Epi-Morphismus} & & & \checkmark\\\text{Iso-Morphismus} & & \checkmark & \checkmark\end{array}$$

Comments

Nee, echt jetzt?

Ich wälze mich durch die Vorlesung, versuche Wikipedia und Videos zu verstehen, frage Komolitonen, die es auch nicht verstanden haben...

Irgendwie können die alle nicht wirklich erklären.

Vielen Dank du hast mir sehr geholfen!