Kann ich bei diesem Term x2 + 4*x +5 die Umkehrfunktion bilden?

Question

Aufgabe: Kann ich bei diesem Term x² + 4*x +5 die Umkehrfunktion bilden?

Und zusätzlich habe ich eine Frage: Wie kann ich bei dieser Funktion rechnerisch bestimmen ob sie monoton steigend oder fallend ist?

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Der Graph ist eine verschobene Standardparabel. Die
ist weder monoton steigend, noch monoton fallend.

Es gibt aber ein maximales Intervall, in dem sie steigt,
und ein maximales Intervall, in dem sie fällt.

Bilde die Ableitung. An der kannst du das
Monotonieverhalten gut studieren.

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Ach so, vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Die Umkehrfunktion bekommst du, indem du zuerst die Funktion etwas umformst:$$y=x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$$

Jetzt werden $x$ und $y$ vertauscht und die neue Gleichung nach $y$ aufgelöst:

$$\left.y=(x+2)^2+1\quad\right|\text{\(x\) und \(y\) tauschen.}$$$$\left.x=(y+2)^2+1\quad\right|-1$$$$\left.x-1=(y+2)^2\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{x-1}=y+2\quad\right|-2$$$$y=-2\pm\sqrt{x-1}$$

Jetzt erkennst du zwei "Probleme". Die Umkehrfunktion ist nur für $x\ge1$ definiert. Das ist auch richtig so, weil die ursprüngliche Funktion ja immer $\ge1$ ist.

Das andere Problem ist ernsthaft. Die Funktion ist nicht eindeutig umkehrbar, du musst dich entscheiden, ob du den linken oder den rechten Zweig der ursprünglichen Parabel umkehren möchtest.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x²+4x+5f₂(x) = -2+√(x-1)f₃(x) = -2-√(x-1)f₄(x) = x

Die Steigung einer Funktion ermittelst du aus dem Vorzeichen der ersten Ableitung:$$y'(x)=2x+4$$Das ist positiv für $x>-2$ und negativ für $x<-2$. Daher steigt die Funktion für $x>-2$ und fällt für $x<-2$.

Comments

Besser gehts nicht, Nicht-Leerer Tschaka! :))