Wie löse ich folgende DGL?

Question

\( y(1)=1 \)

\( x^{2} y^{\prime}=x y+y^{2} \)

Wie löse ich folgende DGL?

Comments

Alternativ folgt \(\dfrac{y-xy^\prime}{y^2}=-\dfrac1x\) und damit \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\dfrac xy=-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log(x)\).

Answer 1

Hallo,

Lösung möglich als Bernoulli -DGL oder Substitution z=y/x

Lösung durch Substitution z=y/x

-teile die DGL auf beiden Seiten durch x^2 (≠0)

y'= y/x + (y/x)^2

Es gilt:

z= y/x

y=z*x

y'= z+z'x

setze y' in die DGL ein:

z+z'x =z+ z^2 |-z

z'x = z^2 weiter via Trennung der Variablen

(dz/dx) *x= z^2

dz/z^2= dx/x

-1/z= ln|x| +C

z=1/(-ln|x|-C)

Resubstitution:

y/x= 1/(-ln|x|-C)

y = x/(-ln|x|-C)

AWB:y(1)=1:

1=1/-C → C= -1

Endergebnis:

y = x/(-ln|x| +1)