Maximum von sinus auf Kreisscheibe bestimmen

Question

Aufgabe: Maximum von sin(\( \frac{πx}{2} \)) auf {x∈ℂ :|x| ≤ 1} finden.

Problem/Ansatz: Nach dem Maximumsprinzip weiß man ja schonmal, dass das Maximum auf dem Rand der Einheitskreisscheibe angenommen wird. Ich habe die Parametrisierung (γ(t)) des Randes eingesetzt und |sin(y(t))| untersucht. Nach einer sehr langen Rechnung habe ich ein Extremum bei x= i gefunden. Hier nimmt die Funktion den Wert ≅ 2.3i (Wolfram Alpha) an. Leider habe ich um das Extremum zu finden die Nullstelle der Ableitung von |sin(y(t))| raten müssen und weiß deswegen nicht ob eventuell noch ein anderer Extrempunkt existiert, der ggf. das globale Maximum ist und ich weiß nicht ob in x=i vielleicht sogar nur ein Sattelpunkt vorligt.

Ich habe also 2 Probleme:

1) Weiß jemand ob mein Ergebnis z=i richtig ist?

2) Gibt es einen eleganteren Weg als den, den ich gewählt habe? Falls ja wie schaut dieser aus?

Ich freue mich über jede Hilfe!! :D

LG

Ergänzung nach erster Antwort im Kommentar:

Das ist das Maximum auf dem Einheitsintervall, ich möchte den Betrag der Funktion auf der Komplexen Einheitskreisscheibe untersuchen…

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f(x)=sin(\( \frac{πx}{2} \))

f´(x)=cos(\( \frac{πx}{2} \))*\( \frac{π}{2} \)

cos(\( \frac{πx}{2} \))*\( \frac{π}{2} \)=0

cos(\( \frac{πx}{2} \))=0

x=1

Art des Extremwertes:

f´´(x)=-sin(\( \frac{πx}{2} \))*\( \frac{π}{2} \)*\( \frac{π}{2} \)

f´´(1)=-sin(\( \frac{π}{2} \))*\( \frac{π}{2} \)*\( \frac{π}{2} \)<0 Maximum

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Das ist das Maximum auf dem Einheitsintervall, ich möchte den Betrag der Funktion auf der Komplexen Einheitskreisscheibe untersuchen…

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Entschuldigung, ich kann es nicht besser. Aber vielleicht antwortet jemand anders.

Answer 1

Alles gut, passiert. Ich konnte inzwischen mit Hilfe von Lagrange Multiplikatoren und einer geeigneten Hilfsfunktion nachweisen dass das Max. in x = +- i vorliegt. Bei Gelegenheit schreib ich die Antwort selber mal drunter.

LG

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Schöner Plan und wertvolle Rückmeldung für spätere Interessierte.