Aloha :)
Wir bestimmen das Integral als Funktion \(F\) in Abhängigkeit von \(k\):$$F(k)\coloneqq\int\limits_0^kf(x)\,dx=\int\limits_0^k\left(x^2-3\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-3x\right]_0^k=\frac{k^3}{3}-3k=\frac k3\left(k^2-9\right)$$$$F(k)=\frac k3(k-3)(k+3)$$
zu b) Die Nullstellen von \(F(k)\) können wir sofort ablesen:\(\quad k_1=-3\;;\;k_2=0\;;\;k_3=3\)
zu c) Hier ist \(k\ge0\) vorgegeben und es gilt:$$0<k<3\quad\implies\quad F(k)=\underbrace{\frac k3}_{>0}\cdot\underbrace{(k-3)}_{<0}\cdot\underbrace{(k+3)}_{>0}<0$$$$k>3\qquad\!\quad\implies\quad F(k)=\underbrace{\frac k3}_{>0}\cdot\underbrace{(k-3)}_{>0}\cdot\underbrace{(k+3)}_{>0}>0$$
