Beweis: Determinante für verallgemeinerte obere Dreiecksmatrizen A

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für verallgemeinerte obere Dreiecksmatrizen A, d.h. für Matrizen der Form \(A=\begin{pmatrix} A_1 & &  * \\ & \ddots & \\  & & A_r \end{pmatrix}\) wobei \(A_i, i=1,...,r\) quadratische Matrizen sind, gilt: \(det A=\prod \limits_{i=1}^{r}det A_i\).

Hinweis: Formen Sie A durch elementare Zeilenumformungen sukzessive in eine obere Dreiecksmatrix um.

Problem/Ansatz:

Ich habe es mal nur für Elemente statt Matrizen versucht und habe den Beweis auch geschafft, aber hier fehlt leider jeglicher Ansatz zum Lösen.

Answer 1

Beweis:
Da die Matrizen \(\displaystyle A_i\) in der Hauptdiagonale von A stehen, müssen diese in Zeilenstufenform sein, wenn A ebenfalls in Zeilenstufenform vorhanden ist. A wird also in Zeilenstufenform gebracht.
Seien \(\displaystyle A_1=B\in\mathbb{R}^{m\times m}, A_2=C\in\mathbb{R}^{n\times n},..., A_r=Z\in\mathbb{R}^{t\times t}\).
Aus der Zeilenstufenform folgt \(\displaystyle\det A_1=\det B=b_{11}\cdot b_{22}\cdot...\cdot b_{mm}, \det A_2=\det C=c_{11}\cdot c_{22}\cdot...\cdot c_{nn},..., \det A_r=\det Z=z_{11}\cdot z_{22}\cdot...\cdot z_{tt}\).
Außerdem folgt, dass \(\displaystyle \det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot...\cdot a_{rr}=b_{11}\cdot b_{22}\cdot...\cdot b_{mm}\cdot c_{11}\cdot c_{22}\cdot...\cdot c_{nn}\cdot z_{11}\cdot z_{22}\cdot...\cdot z_{tt}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\det A=\det B\cdot\det C\cdot...\cdot\det Z=\det A_1\cdot\det A_2\cdot...\cdot\det A_r=\prod\limits_{i=1}^{r}\det A_i=\prod\limits_{i=1}^{r}a_{ii}\), wobei \(\displaystyle a_{ii}\) die Elemente der Hauptdiagonale der Zeilenstufenform von A sind.

Comments

Danke für den Nachtrag, das wird die Nachwelt freuen!