Wie diese komplexe Menge skizzieren?

Question

Hallo, ich hab folgendes Problem:

Skizzieren Sie die Menge $\mathcal{A}=\{z \in \mathbb{C}:|z| \leq 2\}$ und das Bild von $\mathcal{A}$ unter der Funktion
$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto \operatorname{Re}(z)+2+\frac{i}{2} \operatorname{Im}(z)$

Wie man A skizziert ist mir klar. Ein Kreis mit M(0/0) und r= 2. Aber wie funktioniert das mit f(A)?

Danke im voraus.

Answer 1

Lösung mit cartesischen Koordinaten.

Es ist $f(x+iy)=u+iv$ mit $u=x+2$ und $v=y/2$,

also $x=u-2,\; y=2v$. Dann hat man: $$x^2+y^2\leq 4 \iff (u-2)^2+4v^2 \leq 4 \iff \frac{(u-2)^2}{2^2} + \frac{v^2}{1^2}\leq 1.$$Das ist eine Ellipse mit Mittelpunkt $(2|0)$ und den Halbachsen

$a=2, \; b=1$.

Answer 2

Aloha :)

Alle $z\in A$ bilden in der Gauß'schen Zahlenebene eine Kreisscheibe mir Radius $2$ um den Ursprung (inklusive des Randes):$$z=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$

Die Abbildungsvorschrift lautet in Koordinatenschreibweise:$$f(z)=\operatorname{Re}(z)+2+\frac i2\,\operatorname{Im}(z)=\binom{\operatorname{Re}(z)+2}{\frac12\operatorname{Im}(z)}=\binom{r\cos\varphi+2}{\frac r2\sin\varphi}=\binom{2}{0}+r\binom{\cos\varphi}{\frac 12\sin\varphi}$$

Das ist eine Ellipse um den Mittelpunkt $(2|0)$ mit großer Halbachse $a=2$ und kleiner Halbachse $b=1$: