mir bereitet die folgende Aufgabe Probleme.
Aufgabe:
Es sei \( M \) eine Menge. In dieser Aufgabe geht es um binäre Operationen \( \diamond: M \times M \rightarrow M \) auf \( M \).
Es sei \( |M|=2 \). Wie viele solche binäre Operationen sind kommutativ? Erklären Sie kurz, wie Sie zu Ihrem Ergebnis gekommen sind.
Tipp. Damit Sie nicht alle Möglichkeiten durchprobieren müssen: Stellen Sie \( \diamond \) tabellenartig dar und überlegen Sie sich, welche Zusammenhänge zwischen den Einträgen in der Tabelle bestehen müssen.
Lösung:
Es sei \( M=\left\{m_{1}, m_{2}\right\} . \) Jede binäre Operation \( \diamond \) auf \( M \) kann wie folgt dargestellt werden:
\( a=m_{1} \diamond m_{1}, b=m_{1} \diamond m_{2} \), usw. Jedes \( \diamond \) ist damit eindeutig durch die Werte \( a \), \( b, c \), und \( d \) bestimmt.
\( \diamond \) ist genau dann kommutativ, wenn \( b=c \) ist. Das heißt, jedes kommutative \( \diamond \) ist genau durch die Werte \( a, b \), und \( d \) festgelegt. Da es \( |M|^{3}=2^{3}=8 \) verschiedene Möglichkeiten gibt, Werte für \( a, b \), und \( d \) zu wählen, so muss es also insgesamt 8 verschiedene kommutative binäre Operationen auf \( M \) geben.
Mein Problem:
Ich kann den Lösungsvorschlag nach der Tabellenerstellung leider nicht nachvollziehen. Wieso ist jedes kommutative ⋄ durch die Werte a, b, und d festgelegt, und nicht durch die Werte \(m_1 \) und \(m_2 \)?
