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Aufgabe:

A:

112
x1
12
-110xx2=-8
011
x3
2

B:

112
x1
12
-110xx2=-8
011
x3
4



Problem/Ansatz:

Entscheiden Sie, welches der Gleichungssysteme A und B nicht lösbar ist, und begründen Sie ihre Entscheidung.

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Aloha :)

Die beiden Gleichungssystem sind bis auf den Wert ganz rechts unten gleich. Wir lösen daher beide Gleichungssystem gemeinsam, schreiben aber zwei Ergebisspalten:

$$\begin{array}{rrr|r|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & =_A & =_B & \text{Operation}\\\hline1 & 1 & 2 & 12 & 12\\-1 & 1 & 0 & -8 & -8 &+\text{Zeile 1}\\0 & 1 & 1 & 2 & 4 &\\\hline1 & 1 & 2 & 12 & 12\\0 & 2 & 2 & 4 & 4 &:\,2\\0 & 1 & 1 & 2 & 4 &\\\hline1 & 1 & 2 & 12 & 12 & -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & 2 & 2 &\\0 & 1 & 1 & 2 & 4 &-\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 1 & 10 & 10 & \\0 & 1 & 1 & 2 & 2 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 2 &\end{array}$$

Hier erkennen wir, dass das Gleichungssystem \(B\) nicht lösbar ist, weil die letzte Gleichung$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$$durch kein Tupel \((x_1,x_2,x_3)\) erfüllt werden kann.

Hingegen ist die letzte Gleichung für das Gleichungssystem \(A\) für alle \((x_1,x_2,x_3)\) erfüllt:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=0\quad\checkmark$$

Wir brauchen also nur Gleichungssystem \(A\) weiter zu betrachten:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & =_A & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & 1 & 10 &\Rightarrow x_1+x_3=10 \\0 & 1 & 1 & 2 & \Rightarrow x_2+x_3=2 \\0 & 0 & 0 & 0 & \end{array}$$Da die letzte Gleichung keinerlei Forderungen an eine der Varibalen \(x_1\), \(x_2\) oder \(x_3\) stellt, haben wir nur zwei Forderungen an drei Unbekannte. Wir stellen die beiden Forderungen etwas um:$$x_1=10-x_3\quad;\quad x_2=2-x_3$$und finden damit unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems \(A\):$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10-x_3\\2-x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\2\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$$Die Lösungen liegen offensichtlich alle auf einer Geraden.

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Versuche doch einfach, die Systeme zu lösen.

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Bei System A sind der Rang der Koeffizientenmatrix und der

erweiterten Koeff.matrix = 2, also gleich. Daher ist B lösbar.

Bei System B hat die erweiterte Koeff.matrix den Rang \(3\neq 2\),

also ist B nicht lösbar.

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