Determinante berechnen ; Matrix

Question

Kann mir jemand bitte helfen? Ich muss die Determinante von der folgende Matrix rechnen.

A=

1	10	10	...	10
10	2	10	...	10
10	10	3	...	10
...	...	...	...	...
10	10	10	10	10

Also ich ziehe von jeder Zeile 10 Mal die erste Zeile ab, aber was mache ich danach?

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}\begin{vmatrix}1 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\10 & 2 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\10 & 10 & 3 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\10 & 10 & 10 & 4 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\10 & 10 & 10 & 10 & 5 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 6 & 10 & 10 & 10 & 10\\10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 7 & 10 & 10 & 10\\10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 8 & 10 & 10\\10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 9 & 10\\10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\end{vmatrix}$$

Wir subtrahieren die letzte Zeile von allen übrigen Zeilen:$$=\begin{vmatrix}-9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\end{vmatrix}$$

Wir subtrahieren die letzte Spalte von allen andern Spalten:$$=\begin{vmatrix}-9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10\end{vmatrix}$$

Wir multiplizieren alle Elemente auf der verbliebenen Hauptdiagonalen:$$=-10!$$

Comments

Oh Gott !! Vielen Dank für die Mühe ! Ich habe es verstanden :)