Grenzwert einer komplexen Funktion

Question

Aufgabe:

Sei \( 0<a \in \mathbb{R} \) und \( z \in \mathbb{C} \). Bestimmen sie die Limiten folgender Funktionen an z₀ \( =0 \). falls diese existieren

a) \( f(z)=\frac{\bar{z}}{z} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich Anfange und was zu tun ist. Ich muss den Limes von z gegen 0 bestimmen, das weiß ich, aber ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss. (L’Hospital soll nicht verwendet werden)

Comments

Hallo

geh mal auf verschiedenen Wegen nach 0 , als mit z=x+iy auf der geraden x=0 oder y=0 oder x=y

lul

Answer 1

\( f(z)=\frac{\bar{z}}{z} \)

\( f(z)=\frac{z+i}{z-i}=\frac{(z+i)*(z+i)}{(z-i)(z+i)} =\frac{z^2+2iz-1}{z^2+1}\)

Grenzwert für z→0 ist -1

Comments

\(f(z)=\frac{z+i}{z-i}\)

Warum das denn?

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Ich habe

\(z=0+1*i=i\)

\(\bar{z} =0-1*i=-i\)

als einfachstes Beipiel gewählt.

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Es ist der Grenzwert für z gegen Null gefragt. Wie kann da z konstant gleich i sein?
Im Übrigen existiert der fragliche Grenzwert nicht.

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Wolfram:

\( (z+i) /(z-i) \) with \( z=0 \)
Assuming \( \mathrm{i} \) is the imaginary unit | Use \( i \) as a variable instead
Input interpretation
\( \frac{z+i}{z-i} \) where \( z=0 \)
Result
\( -1 \)

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Was genau meinst du damit nachgewiesen zu haben? Wie bereits gesagt existiert der Grenzwert nicht.

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Leider weiß ich es nicht besser! Gib doch bitte selbst eine schlüssige Antwort.