Vollständige Induktion mit Summenzeichen 1/(v(v+1)=(n-1))/n für n>=2

Question

Aufgabe:

Zeige mit vollständiger Induktion

$$\sum \limits_{v=1}^{n-1}\frac{1}{v(v+1)}=\frac{n-1}{n}$$

$$\forall n\geq2$$
Problem/Ansatz:

Für n=2 eingesetzt, gilt es schonmal. Im Induktionsschritt weiß ich jetzt allerdings nicht weiter. Habe n+1  in den ersten Term eingesetzt bin dann auf folgendes gekommen:

 $$\frac{1}{(n+1)*(n+2)}+ \sum \limits_{v=1}^{n-1}\frac{1}{v(v+1)}$$

den zweiten Term habe ich dann mit der Voraussetzung getauscht und bin auf das hier gekommen.

$$\frac{1}{(n+1)*(n+2)}+\frac{n-1}{n}$$

Nun bin ich leider ratlos und komme einfach nicht drauf wie das umzuformen ist um den Beweis zu beenden. Ich bin nicht mal sicher ob mein Ansatz hier wirklich Sinn macht oder ob das auf eine komplett andere weise zu lösen ist.

Answer 1

Aloha :)

Die Induktionsverankerung bei \(n=2\) hast du ja bereits gezeigt.

Den Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) kannst du wie folgt durchführen:$$A_{n+1}=\sum\limits_{v=1}^{(n+1)-1}\frac{1}{v(v+1)}=\sum\limits_{v=1}^{n}\frac{1}{v(v+1)}=\frac{1}{n(n+1)}+\sum\limits_{v=1}^{n-1}\frac{1}{v(v+1)}$$Jetzt setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein:$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{(n-1)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{n^2-1}{n(n+1)}$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{n^2}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)}\quad\checkmark$$

Comments

Oh man mein Fehler war, dass ich mit n+1 über dem Summenzeichen weiter gemacht habe obwohl da ja die -1 dabei steht. Da hätte ich wohl auch selbst drauf kommen können.
Vielen Dank für die schnelle Antwort!