Vollständige Induktion. Summenzeichen. Woher kommt das gelbe -1/(2n+1)?

Question

Bem.: es muss heißen: "rechte Seite: \(\frac{1}{1+\colorbox{#ffff00}{1}} = \frac12\)"

Wie kommt man bei der zweiten Reihe der Summe von 1 bis n+1 1/n+k - 1/2n+1 ...
auf die - 1/2n-1 ?

Induktionsschluss: $$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{2(n+1)} \frac{(-1)^{k-1}}{k} & (1)\\ = &\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} & (2)\\ = &\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} & (3)\\ = &\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k} - \textcolor{#F05}{\frac{1}{2n+1}} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} &(4)\\= &\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k+1} - \frac{1}{2n+2} &(5)\\ = &\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k+1} + \frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+n+1+1} - \frac{1}{2n+2} &(6)\\ = &\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(n+1)+k} + \frac{1}{n+1} -\frac{1}{2(n+1)} - \frac{1}{2(n+1)} &(7)\\ = &\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(n+1)+k} &(8) \end{aligned}$$

wie kommt man bei (4) auf die \(-\frac{1}{2n+1}\)?

Answer 1

Im Schritt davor ging die Summe nur bis n.

Wenn sie nun bis n+1 geht , hat man einfach den (n+1)-ten Summanden

(Und bei 1/(n+k) ist das ja 1/(n+(n+1)) = 1/(2n+1)     )

wieder abgezogen damit es gleich bleibt.

Comments

Von wo weiß ich ob ich für n oder für k n+1 einsetzen muss ?

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unter dem Summenzeichen steht immer als erstes der Summationsindex,

das hier das k.

Und dann steht ja dabei was du alles für k einsetzen musst. In der Zeile mit der

gelben Markierung geht es von 1 bis n .

In der Zeile vorher von 1 bis n+1, also versteckt sich dort in dem Summenzeichen

ein Summand mehr. Das ist der gelb markierte in der nächsten Zeile.