Zeigen, dass für den Flächeninhalt eines Dreiecks die Gleichung gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für den Flacheninhalt \(F\) eines Dreiecks mit den Seitenlangen \(a\), \(b\), \(c\) die Gleichung:$$F^2 =-\frac{1}{16} \det\begin{pmatrix}0& c^2& b^2& 1\\ c^2& 0& a^2& 1\\ b^2& a^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,
Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Meine Ideen:
Ich dachte daran die Längen der Seiten zu ermitteln und die Werte in die Heron-Formel für die Dreiecksfläche einsetzen. Jedoch brauche ich hilfe die Seitenlängen a, b und c zu bestimmen.

Anschließend würde ich die determinante der Matrix berechnen und mal -1/16 rechnen.

Nun die beiden Ergbenisse vergleichen und schauen ob das selbe rauskommt. Bin ich da auf dem richtigen Weg? Wie kann ich die Seitenlängen a, b und c in der Matriz berechnen? LGS lösen?

Answer 1

Das klingt doch wie ein Plan

F^2 = - 1/16·DET([0, c^2, b^2, 1; c^2, 0, a^2, 1; b^2, a^2, 0, 1; 1, 1, 1, 0])
F^2 = (- a^4 + 2·a^2·b^2 + 2·a^2·c^2 - b^4 + 2·b^2·c^2 - c^4)/16

Nun die Formel von Heron

s = 1/2·(a + b + c)

F^2 = s·(s - a)·(s - b)·(s - c)
F^2 = 1/2·(a + b + c)·(1/2·(a + b + c) - a)·(1/2·(a + b + c) - b)·(1/2·(a + b + c) - c)
F^2 = (- a^4 + 2·a^2·b^2 + 2·a^2·c^2 - b^4 + 2·b^2·c^2 - c^4)/16

Deine Idee ist richtig und führt also zum Ziel.

Du solltest es nur sauber und ausführlich aufschreiben.