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Aufgabe:

Sei \( X=\mathbb{R} \) und \( d \) die Betragsmetrik. Bestimmen Sie (inkl. Begründung/Beweis) Inneres, Rand und Abschluss von

\( M:=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{\frac{1}{2^{n+2}}}\left(\frac{1}{2^{n}}\right) \)

und entscheiden Sie, ob \( M \) offen oder abgeschlossen ist.


Problem/Ansatz:

Ich grübel bei dieser Aufgabe und verstehe nicht, wie ich sie lösen soll. Mich würde es unheimlich freuen, wenn mir jemand eine Lösung schreiben könnte, falls es nicht zu viel verlangt ist.

LG

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Ich überlege gerade, was für was steht. Was ist der Mittelpunkt der Kugel und was davon ist der Radius?

Jedenfalls ist die beliebige Vereinigung offener Mengen offen, und das Kugeln offene Menge sind ist diese Menge auf jeden Fall offen

Dann zum Rand: schau dir mal an, was die Folge als Grenzwert hat.

Zum Rand kommt neben dem Grenzwert aber auch noch der Rand der einzelnen Kugeln dazu also 1/2^n +— 1/2^n+2,


damit ist dann auch klar, was der Abschluss ist

Den ersten Kommentar kannst du ignorieren:)

Danke dir erstmal:)

Wie sieht es aber mit dem innerem und dem Abschluss aus? Wie beweist man diese?

Naja, da die Menge offen ist, stimmt sie natürlich mit dem Inneren überein. Also ist ja gerade die Vereinigung das Innere.


Für den Rand gibt's zwei Optionen. Um zu zeigen, dass die 0 ein Randpunkt ist, muss eine Folge in dieser Vereinigung existieren, dessen Grenzwert die 0 ist. Naja aber dann nimm einfach die Folge der Mittelpunkte dieser Kugeln.

Dass noch zusätzlich die Randpunkte der Kugeln hinzukommen, sollte eigentlich klar sein. Da ihr sicherlich hattet, was der Abschluss einer Kugel ist. Dort ist eigentlich nur zu zeigen, daß die Kreise paarweise keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, damit du den Rand jedes einzelnen Kreises nehmen kannst. Aber das ist halt auch klar durch den Radius und den Mittelpunkt, den man dort wählt. Das würde ich aber jedenfalls erwähnen bzw. Kurz beweisen durch die Ungleichung,die du aufstellt, in dem du bei der der nächst kleineren Kugel den rechten Rand betrachtest und bei der größeren den linken Rand, und dort der eine Punkt echt kleiner ist als der andere Randpunkte

Und der Abschluss ist ja nichts weiteres als die Vereinigung + ihre Randpunkte.

Alles klar, danke dir für diese Antwort!! Das hilft mir sehr!

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