Topologie von Funktionenmengen

Question

Hey

Gegeben ist C[a,b], der Vektorraum stetiger Funktionen von [a,b] nach R.

Nun ist dieser normiert mit der Unendlichnorm / Maximumsnorm.

Dann ist die Teilmenge A = {f aus C[a,b] : f(a) aus Q ∩ (0,1)} gegeben. Ich soll nun prüfen, ob die Menge offen, abgeschlossen ist bzgl. dieser gewählten Norm.

Ich habe keine Idee wie ich das hierbei machen soll. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand hilft.

LG,

Tanja

Comments

Wenn nicht klar ist, was die Antwort ist, würde ich versuchen, eine der Aussagen zu beweisen. Dazu würde ich zunächst konkret aufschreiben: Was bedeutet: "A ist offen"?

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Offenheit ist ja diese topologische Eigenschaft

Das ist ja mit der Umgebung die Definition. Nur wie macht mab das bei Funktionmengen?

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Schreib es doch mal hierhin- erst allgemein- damit wir einen Ansatz haben

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Hi. Ich hatte vergessen zu antworten. Die Frage hatte sich schon geklärt. Danke aber!

Answer 1

Die Menge \(A\) ist nicht offen, weil \(f:\ x\mapsto \frac{1}{2}\) Element von \(A\) ist und in jeder \(\varepsilon\)-Umgebung um \(f\) eine Funktion \(g:\ x\mapsto \delta\) mit \(\delta\notin \mathbb{Q}\cap (0,1)\) also \(g\in A^\complement\) liegt.

Die Menge ist auch nicht abgeschlossen, weil die Funktion \(x\mapsto \frac{1}{\sqrt 2}\) Grenzwert einer Folge in \(A\) ist, aber nicht in \(A\) liegt.