Wie untersucht man Funktion auf Krümmungsverhalten

Question

Aufgabe:

g(x)=coth(x)=\( \frac{cosh(x)}{sinh(x)} \)

Problem/Ansatz:

Wie untersucht man in welchen Intervallen g konvex und in welchen konkav ist?

f´´(x) ≤ 0 konkav

f´´(x)≥ 0 konvex

Answer 1

Aloha :)

$$g(x)=\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}\quad;\quad x\ne0$$Mit der Quotientenregel erhalten wir die erste Ableitung:$$g'(x)=\frac{\sinh x\cdot\sinh x-\cosh x\cdot\cosh x}{\sinh^2x}=-\frac{1}{\sinh^2x}$$Die Quotientenregel hilft auch bei der zweiten Ableitung:$$g''(x)=-\frac{0\cdot\sinh^2x-1\cdot2\sinh x\cosh x}{\sinh^4x}=\frac{2\cosh x}{\sinh^3x}$$

Wegen \(\cosh x\ge1\) für alle \(x\in\mathbb R\) ist der Zähler immer positiv.

Wegen \(\sinh x<0\) für \(x<0\) und \(\sinh x>0\) für \(x>0\)  gilt also:

\(g(x)\) ist konkav für \(x<0\) und konvex für \(x>0\).

Answer 2

Bilde die zweite Ableitung.

\( g''(x)=\dfrac{8\left(e^{-x}+e^{x}\right)}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{3}} \)

Der Zähler ist immer positiv. Also musst du das Vorzeichen des Nenners untersuchen.

Für x>0 ist der Nenner positiv, für x<0 ist er negativ.

:-)