Vollständige Induktion und Darstellungsmatrix mit Endomorphismus

Question

Aufgaben:

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum und $\varphi: V \rightarrow V$ ein Endomorphismus mit $\varphi^{q}=\mathbf{0}$ und $\varphi^{q-1} \neq \mathbf{0}$ für ein $q \in \mathbb{N}$.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass wenn $k_{0} \in \mathbb{N}_{0}$ ein Index mit $V_{k_{0}}=V_{k_{0}+1}$ ist, so gilt $V_{k_{0}}=V_{k_{0}+i}$ für alle $i \in \mathbb{N}$. Schlussfolgern Sie, dass $q \leqslant n$.

(c) Sei nun $m_{k}:=\operatorname{dim} V_{k}, k \in \mathbb{N}_{0}$. Wir wählen ein $n$-Tupel $\mathscr{B}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ von Vektoren aus $V$, sodass $\left(b_{1}, \ldots, b_{m_{k}}\right)$ Basis von $V_{k}$ für jedes $k$ mit $1 \leqslant k \leqslant q$ ist. Zeigen Sie, dass die Darstellungsmatrix $A:= M_{\mathscr{B}}(\varphi)=M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}}(\varphi)$ eine obere Dreiecksmatrix mit 0en auf der Hauptdiagonale ist.

Eigene Gedanken:

Zu (b)

Wie gehe ich an diesen Beweis heran? Was ist die I.V. und wie fange ich die Induktion an?

Zu (c)

Ich kenne es so, dass man die Basis in $\varphi$ einsetzt und das Ergebnis wieder mit der Basis darstellt. Wie mache ich das jedoch hier?


Viele Grüße Simplex

Comments

Wie ist $V_k$ definiert ?

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$$V_k:=\ker\varphi^k$$ für jedes $k\in \mathbb{N}$

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Hallo

ich habe mal Deine vorherige Frage beantwortet.

Dort hast Du ja schon nach b) gefragt - was also jetzt erledigt ist (hoffe ich)

Gruß Mathilf

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Vielen Dank! @Mathilf

Answer 1

Hallo,

die gesuchte Matrix in c) habe die Komponenten $m_{i,j}$. Dann werden diese Komponenten, wie Du gesagt hast, durch folgende Gleichungen bestimmt

$$A b_i=\sum_{j=1}^nm_{j,i}b_j, \quad i=1, \ldots n$$

Für $m_k <i \leq m_{k+1}$ gilt:

$$0=A^{k+1} b_i= \sum_{j=1}^nm_{j,i} A^k b_j = \sum_{j>m_k} m_{j,i} A^k b_j= =A^k \left[ \sum_{j>m_k} m_{j,i} b_j \right]$$

Dabei wird zunächst ausgenutzt, dass die Basiselemente $b_j$ für $j \leq m_k$ in $V_k$ liegen. Weil der Vektor in den eckigen Klammern nur dann in $V_k$ liegt, wenn er der Nullvektor ist, sind alle $m_{j,i}=0$ für $j>m_k$.

Gruß Mathhilf