Grenzwerte bestimmen - Ableitungen Regel von L´Hospital

Question

Aufgabe:

Hallo alle!

Könnt ihr mir eine Rückmeldumg geben, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe?

Ansatz:

5)
\( \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}, x \rightarrow \infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\infty+\infty}{\infty-\infty}=\frac{\infty+\infty}{0}= \)

4) \( \frac{x^{7}-3 x^{2}+2 x}{2 x^{7}-4 x^{5}+3 x^{2}}, x \rightarrow \infty \) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{7}-3 x^{2}+2 x}{2 x^{7}-4 x^{5}+3 x^{2}}, x \rightarrow \infty \) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x \cdot\left(x^{6}-3 x+2\right)}{x \cdot\left(2 x^{6}-4 x^{4}+3 x\right)}=\frac{2}{0}=\infty \)

6)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+\sin (x)}{2 x-\sin (x)}= \)
\( L=\frac{\infty}{\infty}=\infty \quad \alpha^{\prime} H_{0 s P I T A \mathcal{L}} \)
Qushentenked!

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{-x}\cdot(e^x+e^{-x})}{e^{-x}\cdot(e^x-e^{-x})}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}=\frac{1+\frac{1}{e^{2x}}}{1-\frac{1}{e^{2x}}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{1+0}{1-0}=1$$

$$\frac{x^7-3x^2+2x}{2x^7-4x^5+3x^2}=\frac{\frac{1}{x^7}(x^7-3x^2+2x)}{\frac{1}{x^7}(2x^7-4x^5+3x^2)}=\frac{1-\frac{3}{x^5}+\frac{2}{x^6}}{2-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^5}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{1-0+0}{2-0+0}=\frac12$$

Im letzten Beispiel überlegen wir uns zuerst für \(x>0\):$$-1\le\sin(x)\le1\stackrel{(x>0)}{\implies}-\frac{1}{2x}\le\frac{\sin(x)}{2x}\le\frac{1}{2x}\stackrel{(x\to\infty)}{\implies}0\le\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{2x}\le0$$Damit erhalten wir den Grenzwert:$$\frac{2x+\sin(x)}{2x-\sin(x)}=\frac{\frac{1}{2x}(2x+\sin(x))}{\frac{1}{2x}(2x-\sin(x))}=\frac{1+\frac{\sin(x)}{2x}}{1-\frac{\sin(x)}{2x}}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{1+0}{1-0}=1$$

Comments

Erstmal danke für deine Hilfe Tschakabumba! Aber wieso dürfen wir durch 1/2x teilen?

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Da \(x\to\infty\) geht, ist der kritische Fall \((x=0)\), bei dem es zu einer Division durch Null kommen könnte, irrelevant.

Answer 2

( e^x + e^-x ) / (e^x - e^-x )
lim x -> ∞ [ e^-x ] = 0

( e^x + 0 ) / (e^x - 0 )
e^x / e^x = 1 für alle x

Comments

Warum kann man das so machen?

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( 2 * x + sin(x ) / ( 2 * x - sin(x )
lim x -> ∞ [ sin ( ∞ ) ] ist keine Stelle auf dem
Zahlenstrahl. oszilliert aber zwischen -1 und 1,
Kann aber bei
2 * ∞ + ( -1 bis 1 ) entfallen
( 2 * ∞ ) / ( 2 * ∞) = 1

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Warum kann man das so machen?
Dann gehen wir einmal Schritt für Schritt vor
Was ist e^(-∞) ?
Antwort null.
Einverstanden. ?

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Wie geht's weiter?

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( e^x + e^-x ) / (e^x - e^-x )
lim x -> ∞ [ e^-x ] = 0
wird zu
( e^x + 0 ) / (e^x - 0 )

Einverstanden ?

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Verstehe. Das funktioniert also etwa wie: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac1x)=1+0=1\) und weil doch \(1^x=1\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt, ist \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac1x)^x=1^x=1\).

Einverstanden?

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Nö.
Mein letzter Schritt war
( e^x + 0 ) / (e^x - 0 )
e^x / e^x
1

Geht gleich weiter. Bin mich am rasieren.

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Dei 2.Beispiel wird komplizierter.
Honffentlich bekomme ich das selbst raus.

x = 2 : ( 1 + 1/2 ) ^2 = 2.25
x = 10 : ( 1 + 1/10 ) ^10 = 2.59
x = 100 : ( 1 + 1/100 ) ^100 = 2.70

Kurz und kanpp : bis x -> ∞ = 2.71.. = e

Ich will jetzt erst einmal fernsehen schauen.

Melde mich aber wieder.

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So.
Schaue einmal unter

http://www.math-kit.de/2003/content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest26/verzinsung.html

nach. Dort findest du unter

K1 = k0 * ( 1 + E/n )  ^n

eine ähnlich Formel wie bei deinem
Problem.

Die ganze Angelegenheit scheint kompliziert
zu sein.

mfg

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( 1 + 1/x ) ^x = e

In neun Schritten in den Irrsinn. Es lohnt sich.

Answer 3

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{7}-3 x^{2}+2 x}{2 x^{7}-4 x^{5}+3 x^{2}}\)=\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{7}*(1-\frac{3}{x^5}+\frac{2}{x^6})}{ x^{7}*(2-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^5})}\)=\( \frac{1}{2} \)

\( \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}=\frac{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}}{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}=\frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{2 x}+1}{e^{2 x}-1}=\frac{2 \cdot e^{2 x}}{2 \cdot e^{2 x}}=1 \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+\sin (x)}{2 x-\sin (x)}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2+\cos (x)}{2-\cos (x)}=\frac{-\sin (x)}{\sin (x)}=-1 \)

Comments

Man kann diskutieren, ob eine abenteuerliche Methode besser ist als eine falsche, aber bei 6) hat gb wenigstens das richtige Ergebnis hingeschrieben.

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Vielen lieben Dank @Moliets! Die ersten beiden Aufgaben habe ich gut verstanden, hatte voll vergessen, dass man auch x^7 herausheben kann. Nur verstehe ich die letze Aufgabe mit dem Sinus nicht. Man hat bei den ersten beiden Aufgaben ja die Regel von l´hopital angewendet, wie sieht´s mit der letzen  Funktion aus? Wie erkenne ich, ob ich bei der letzten Funktion die Regel von l´hopital anwenden muss? Normalerweise müssen diese Bedingungen erfüllt sein: 0/0, unendlich/unendlich, 0*unendlich.

Kannst du vielleicht hinschreiben wo diese Funktion konvergiert? Also 2x konvergiert gegen unendlich, sin(x) konvergiert wohin? Zu 0??

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Die Lösung der "Sinusaufgabe" findest du bei Tschakabumba.