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Aufgabe:Es sei V ein n dimensonaler K Vektorraum und f: V→V ein nilpotneter Endomorphismus( d.h. es gibt ein m∈ N, sodass fm die Nullabbildung ist.

Für ein festes v∈V\{0} betrachten wir den Untervektorraum

 U = [fn(v), fn-1(v),....,f(v),v]


Problem/Ansatz:

a) Sei k ≥ 0, sodass fk(v) ≠ 0, aber fk+1(v) = 0. Zeigen Sie, dass

          B= ( fk(v), fk-1(v), ....., f(v),v) eine geordnete Basis von U ist.

 b) Geben Sie die Abbildungsmatrix DBB(f|u) an.

  c) Es sei nun C die geordnete Basis

                     C = (v, f(v),f2(v),.... fk-1(v), fk(v)),

  also eine basis, die mit B als Menge ubereinstimmt, aber in der die Anordnung der Basisvektoren umgekehrt ist. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix DCC(f|u) sowie die basiswechselmatrix DCB(idu). Verifizieren Sie, dass DBB(f|u) = DBC(idu)*DCC(f|u)*DCB(idu)gilt

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