Bijektion von der Potenzmenge

Question

Aufgabe:

Sei X eine Menge und P(X) ihre Potenzmenge. Zeigen Sie: Die Abbildung

P(X) → Abb(X, {0, 1}), A ↦ ιA,

wobei                                                     

                                 ⎧⎪⎪  0 falls x kein ∈ A,
          ιA∶ X → {0, 1}, ⎨       
                                  ⎪⎪⎩ 1 falls x ∈ A

die Indikatorfunktion von A ⊆ X bezeichnet, liefert eine Bijektion von der Potenzmenge P(X) auf die Menge Abb(X, {0, 1}) aller Abbildungen von X nach {0, 1}.

Problem/Ansatz:

Ich würde gerne demnächst Mathe studieren und habe mir ein par Altklausuren besorgt, die ich durchgehe um mich etwas vorzubereiten, vieles habe ich aber so noch gar nicht gemacht und wirft mir mehr fragen auf.

Bei der Aufgabe, ich weiß es geht um Mengen und Abbildungen, aber was ist gemeint mit,zeigen sie die Abbildung ?

Comments

aber was ist gemeint mit,zeigen sie die Abbildung ?

Zeigen Sie: Die Abbildung ... ist bijektiv.

Du musst also nachrechnen, dass die gebene Abbildung die Eigenschaften einer bijektiven Abbildung erfüllt.

Das kann man z.B. machen indem man zeigt, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.

Oder indem man eine Umkehrabbildung angibt.

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Ok danke, soviel habe ich jetzt verstanden, das ganze ist neu für mich.

Daher ein par Fragen zum vorgehen.

Ich würde jetzt zuerst die Potenzmenge bilden von X, die ich ja auf X abbilden soll

A⊆X heißt ja alle A elemente sind doch auch in X oder ?

Dann die Indikatorfunktion, wie gehe ich mit der um, ich habe ja oben A ↦ ιA und dann

ιA∶ X → {0, 1},

mit 1 falls x ∈ A, sowie 0 falls x kein ∈ A, wie gehe ich jetzt vor wenn ich rechnerisch das beweisen würde ?

Die Darstellung wie hier ist mir nicht so vertraut, da ich bisher immer Aufgaben hatte nach dem Schema a-->a+1 wo man das entsprechend nachvollziehen konnte, aber hier habe ich ja sowas nicht.