nIn = cosn^(n-1)xsinx + (n-1)In-2 + c

Question

3. a) Es sei
         \(I_{n}=\int \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, \quad n=0,1,2,, \ldots\)
(i) Zeigen Sie:
         \(n I_{n}=\cos ^{n-1} x \sin x+(n-1) I_{n-2}+c, \quad n=2,3, \ldots\)
(ii) Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{\pi / 2} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x \).
b) Es sei \( a>0 \) und
         \(J_{n}=\int \frac{x^{n}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} \mathrm{~d} x, \quad n=0,1,2,, \ldots\)
(i) Zeigen Sie:
         \(J_{n}=\frac{1}{n} x^{n-1} \sqrt{a^{2}+x^{2}}-\frac{(n-1)}{n} a^{2} J_{n-2}+c, \quad n=2,3, \ldots\)
(ii) Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{2} \frac{x^{5}}{\sqrt{5+x^{2}}} \mathrm{~d} x \).
c) Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{1} x^{3} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x \).
d) Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-2 x} \sin x \mathrm{~d} x \).

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie:
nIn = cosn^(n-1)xsinx + (n-1)In-2 + c

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Bin da leider überfordert..

Answer 1

Für alle \(n>1\) gilt$$\begin{aligned}I_n&=\int\cos^nx\,\mathrm dx\\&=\int\cos^2x\cos^{n-2}x\,\mathrm dx\\&=\int(1-\sin^2x)\cdot\cos^{n-2}x\,\mathrm dx\\&=\int\cos^{n-2}x\,\mathrm dx-\int\sin^2x\cos^{n-2}x\,\mathrm dx\\&=I_{n-2}-\int\sin x\cdot(\sin x\cos^{n-2}x)\,\mathrm dx\end{aligned}$$Nun partielle Integration mit$$\begin{aligned}\qquad u&=\sin x&v ^\prime&=\sin x\cdot\cos^{n-2}x\\u^\prime&=\cos x&v&=-\tfrac1{n-1}\cos^{n-1}x\end{aligned}\\\begin{aligned}I_n&=I_{n-2}+\tfrac1{n-1}\sin x\cos^{n-1}x-\int\tfrac1{n-1}\cos^nx\,\mathrm dx\\&=I_{n-2}+\tfrac1{n-1}\sin x\cos^{n-1}x-\tfrac1{n-1}I_n.\end{aligned}$$Endergebnis lautet$$\boxed{\hspace0.5px\boxed{\large\ nI_n=(n-1)I_{n-2}+\sin x\cos^{n-1}x\ }\hspace0.5px}$$

Comments

Vielen lieben Dank.

Könntest du mir eventuell auch bei den anderen Teilaufgaben helfen?

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c)  \(\displaystyle\int x^3\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx\)
Berechne zunächst \(\displaystyle\int x\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx\) mit partieller Integration:
\(\displaystyle\qquad\begin{aligned}u&=x&v^\prime&=\mathrm e^{-2x}\\u^\prime&=1&v&=-\tfrac12\mathrm e^{-2x}\end{aligned}\\=-\tfrac12x\mathrm e^{-2x}+\int\tfrac12\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx\\=-\tfrac12x\mathrm e^{-2x}-\tfrac14\mathrm e^{-2x}=-\tfrac14(2x+1)\mathrm e^{-2x}\).
Damit berechne ebenfalls mit partieller Integration \(\displaystyle\int x^2\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx\):
\(\displaystyle\qquad\begin{aligned}u&=x^2&v^\prime&=\mathrm e^{-2x}\\u^\prime&=2x&v&=-\tfrac12\mathrm e^{-2x}\end{aligned}\\=-\tfrac12x^2\mathrm e^{-2x}+\int x\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx\\=-\tfrac12x^2\mathrm e^{-2x}-\tfrac14(2x+1)\mathrm e^{-2x}=-\tfrac14(2x^2+2x+1)\mathrm e^{-2x}\).

Schließlich auf die gleiche Weise das eigentlich gesuchte Integral berechnen und Grenzen einsetzen.