Aloha :)
Der unbekannte Vektor \((x;y;z)^T\) soll orthogonal zu den gegebenen Vektoren sein:
$$\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\implies x+y=0\implies x=-y$$$$\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\implies y+z=0\implies z=-y$$Damit können wir alle orthogonalen Vektoren angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}-y\\y\\-y\end{array}\right)=y\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\1\\-1\end{array}\right)$$
Wir müssen \(y\) noch so wählen, dass der Vektor die Länge \(3\) hat:$$3\stackrel!=\sqrt{(-y)^2+y^2+(-y)^2}=\sqrt{3y^2}=\sqrt3\cdot|y|\implies |y|=\sqrt3\implies y=\pm\sqrt3$$
Damit haben wir 2 Lösungenvektoren gefunden:$$\vec v_1=\left(\begin{array}{r}-\sqrt3\\\sqrt3\\-\sqrt3\end{array}\right)\quad;\quad\vec v_2=\left(\begin{array}{r}\sqrt3\\-\sqrt3\\\sqrt3\end{array}\right)$$
