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Berechnen Sie ∫k xy ds, wobei k der Viertelbogen mit dem Radius r=2 im 1. Quadranten ist.

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man kann \( y \) und \( x \) winkelabhängig darstellen gemäß

\( y(\varphi) = 2 \sin(\varphi) \)

und

\( x(\varphi) = 2 \cos(\varphi) \).

Nun ist über \( \varphi \) in den Grenzen von \( 0 \) bis \( \pi/2 \) zu integrieren:

\( \int_0^{\pi/2} xy d\varphi = 4 \int  sin(\varphi) cos(\varphi) d\varphi \)

\( = 4 \left[ \frac{1}{2} \sin^2(\varphi) \right]_0^{\pi/2} = 2 \).

MfG

Mister

PS: Die Stammfunktion im letzten Schritt kann auch als nicht bekannt vorausgesetzt werden: Man erhält sie dann durch einmalige partielle Integration des Ausdrucks und geschicktes Umformen.

PPS: Die Stammfunktion \( -\frac{1}{2}cos^2(\varphi) \) führt zum selben Ergebnis.
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